Das Quotientenkriterium (auch bekannt als das D'Alembert-Kriterium) ist ein Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Es wird verwendet, um zu bestimmen, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert, indem das Verhältnis aufeinanderfolgender Terme analysiert wird.
Aussage des Kriteriums:
Gegeben sei eine unendliche Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, wobei $a_n \neq 0$ für alle $n$ ist. Berechne den Grenzwert:
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$
Dann gilt:
Anwendung:
Das Quotientenkriterium ist besonders nützlich, wenn die Reihe Terme enthält, die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Fakult%C3%A4t">Fakultäten</a> ($n!$) oder Exponentialfunktionen ($a^n$) enthalten, da sich diese oft beim Bilden des Quotienten vereinfachen.
Beispiel:
Betrachten wir die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$. Wir wenden das Quotientenkriterium an:
$a_n = \frac{n}{2^n}$ $a_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}$
$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{2n} \right| = \frac{1}{2}$
Da $L = \frac{1}{2} < 1$, konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.
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