Was ist quotientenkriterium?

Quotientenkriterium

Das Quotientenkriterium (auch bekannt als das D'Alembert-Kriterium) ist ein Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Es wird verwendet, um zu bestimmen, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert, indem das Verhältnis aufeinanderfolgender Terme analysiert wird.

Aussage des Kriteriums:

Gegeben sei eine unendliche Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, wobei $a_n \neq 0$ für alle $n$ ist. Berechne den Grenzwert:

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

Dann gilt:

  • Wenn $L < 1$, dann konvergiert die Reihe absolut. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Absolute%20Konvergenz">Absolute Konvergenz</a>)
  • Wenn $L > 1$ (oder $L = \infty$), dann divergiert die Reihe. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Divergenz">Divergenz</a>)
  • Wenn $L = 1$, dann ist keine Aussage möglich. Das Quotientenkriterium ist in diesem Fall nicht anwendbar und man muss andere Konvergenzkriterien verwenden (z.B. <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Wurzelkriterium">Wurzelkriterium</a>, <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Leibniz-Kriterium">Leibniz-Kriterium</a>).

Anwendung:

Das Quotientenkriterium ist besonders nützlich, wenn die Reihe Terme enthält, die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Fakult%C3%A4t">Fakultäten</a> ($n!$) oder Exponentialfunktionen ($a^n$) enthalten, da sich diese oft beim Bilden des Quotienten vereinfachen.

Beispiel:

Betrachten wir die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$. Wir wenden das Quotientenkriterium an:

$a_n = \frac{n}{2^n}$ $a_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}$

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{2n} \right| = \frac{1}{2}$

Da $L = \frac{1}{2} < 1$, konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.

Wichtige Hinweise:

  • Das Quotientenkriterium liefert keine Information über die Summe der Reihe, sondern nur darüber, ob sie konvergiert oder divergiert.
  • Wenn das Quotientenkriterium keine Aussage liefert ($L=1$), muss man ein anderes Kriterium anwenden.
  • Das Quotientenkriterium ist eng mit dem <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Wurzelkriterium">Wurzelkriterium</a> verwandt, welches oft in ähnlichen Situationen verwendet werden kann. Manchmal ist eines der beiden Kriterien einfacher anzuwenden.