Was ist quotientenregel?

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine Differentiationsregel der Differentialrechnung, die verwendet wird, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, die als Quotient zweier anderer Funktionen dargestellt werden kann.

Formel:

Seien u(x) und v(x) differenzierbare Funktionen und sei f(x) = u(x) / v(x). Dann ist die Ableitung von f(x) gegeben durch:

f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))^2

Bedeutung der Symbole:

• u'(x): Die Ableitung der Funktion u(x) nach x.
• v'(x): Die Ableitung der Funktion v(x) nach x.
• v(x): Die Funktion v(x).
• u(x): Die Funktion u(x).

Anwendung:

Die Quotientenregel wird angewendet, wenn eine Funktion in der Form eines Quotienten vorliegt. Es ist wichtig, die Funktionen u(x) und v(x) korrekt zu identifizieren, bevor die Regel angewendet wird.

Beispiel:

Sei f(x) = x / (x^2 + 1). Hier ist u(x) = x und v(x) = x^2 + 1.

• u'(x) = 1
• v'(x) = 2x

Anwenden der Quotientenregel:

f'(x) = (1 * (x^2 + 1) - x * 2x) / (x^2 + 1)^2 f'(x) = (x^2 + 1 - 2x^2) / (x^2 + 1)^2 f'(x) = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2

Merkhilfe:

Es gibt verschiedene Merkhilfen, um sich die Quotientenregel zu merken. Eine gängige ist:

"Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, geteilt durch unten im Quadrat."

Wichtiger Hinweis:

Die Quotientenregel ist eng mit der Produktregel verwandt. Sie kann auch aus der Produktregel und der Kettenregel hergeleitet werden.