Was ist so3?

SO(3)

Die spezielle orthogonale Gruppe SO(3) ist die Gruppe der Rotationen um den Ursprung im dreidimensionalen euklidischen Raum, ℝ³. Sie ist eine Lie-Gruppe und ist als Gruppe von Matrizen definiert.

Definition:

SO(3) ist die Menge aller 3x3-Matrizen R mit reellen Einträgen, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

• R^TR = I, wobei R^T die Transponierte von R ist und I die 3x3-Einheitsmatrix.
• det(R) = 1, wobei det(R) die Determinante von R ist.

Eigenschaften und Bedeutung:

• Rotationen: Jede Matrix in SO(3) repräsentiert eine Rotation um den Ursprung. Die Spalten der Matrix sind orthonormale Vektoren und bilden eine rechtshändige Basis.

• Lie-Algebra: Die Lie-Algebra zu SO(3) wird mit so(3) bezeichnet. Sie besteht aus allen schiefsymmetrischen 3x3-Matrizen. Jede Matrix A in so(3) erfüllt A^T = -A. so(3) ist isomorph zu ℝ³ mit dem Kreuzprodukt als Lie-Klammer.

• Exponentialabbildung: Die Exponentialabbildung verbindet die Lie-Algebra so(3) mit der Lie-Gruppe SO(3). Sie ermöglicht es, eine Rotation (in SO(3)) ausgehend von einem Element der Lie-Algebra (Rotation um eine Achse mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit) zu berechnen. Die Exponentialabbildung von so(3) nach SO(3) ist durch die Matrixexponentialfunktion gegeben. Eine Matrix A in so(3) kann geschrieben werden als A = θK, wobei θ der Rotationswinkel ist und K eine schiefsymmetrische Matrix ist, die die Rotationsachse repräsentiert (||K|| = 1). Dann ist exp(A) = exp(θK) = I + sin(θ)K + (1 - cos(θ))K², was die Rodrigues-Rotationsformel darstellt.

• Parametrisierungen: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Rotation in SO(3) zu parametrisieren, wie z.B.:

  • Euler-Winkel: Drei Winkel, die aufeinanderfolgende Rotationen um Achsen in einem festen oder beweglichen Bezugssystem beschreiben. Siehe Euler-Winkel.
  • Achse-Winkel-Darstellung: Beschreibt eine Rotation durch eine Achse und einen Winkel.
  • Quaternionen: Eine vierdimensionale Darstellung, die weniger anfällig für Gimbal Lock ist als Euler-Winkel. Siehe Quaternionen.
  • Rotationsmatrizen: Die 3x3 Matrizen selbst.

• Anwendungen: SO(3) findet breite Anwendung in Bereichen wie Robotik, Computer Vision, Computergrafik, Physik und Ingenieurwesen, insbesondere bei der Beschreibung von Orientierungen und Bewegungen starrer Körper.

• Topologie: SO(3) ist topologisch äquivalent zum reell-projektiven Raum RP³ und ist zweifach überdeckt von der Gruppe der Einheitsquaternionen, SU(2).