Was ist sattelpunkt?

Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt auf dem Graphen einer differenzierbaren Funktion einer Variablen, an dem die Ableitung der Funktion Null ist, aber die Funktion an diesem Punkt weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum aufweist. Anders ausgedrückt: Die Funktion ändert an diesem Punkt ihr Monotonieverhalten nicht (steigt oder fällt nicht), sondern hat lediglich eine waagerechte Tangente.

Eigenschaften und Merkmale:

Erste Ableitung ist Null: Am Sattelpunkt gilt f'(x) = 0. Dies ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung. Ein Punkt, an dem die erste Ableitung Null ist, kann auch ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum sein.
Zweite Ableitung kann Null oder Nicht-Null sein: Die zweite Ableitung f''(x) kann am Sattelpunkt Null sein, muss es aber nicht. Wenn f''(x) = 0 ist, spricht man von einem Wendepunkt mit horizontaler Tangente. Wenn f''(x) ungleich Null ist, kann man anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung vor und nach dem Punkt prüfen, ob es sich um einen Sattelpunkt handelt (siehe unten).
Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung: Das entscheidende Kriterium für einen Sattelpunkt ist, dass die erste Ableitung f'(x) keinen Vorzeichenwechsel am Sattelpunkt aufweist. Vor dem Punkt ist sie beispielsweise positiv (Funktion steigt) und nach dem Punkt ist sie immer noch positiv (Funktion steigt) oder umgekehrt.

Wie man einen Sattelpunkt findet:

Berechnung der ersten Ableitung: Bestimme die erste Ableitung f'(x) der Funktion.
Nullstellen der ersten Ableitung: Setze f'(x) = 0 und löse nach x, um die Kandidaten für Extremstellen (lokale Maxima, Minima und Sattelpunkte) zu finden.
Untersuchung der zweiten Ableitung (optional, aber oft hilfreich): Berechne die zweite Ableitung f''(x).
- Ist f''(x) am Kandidatenpunkt ungleich Null, handelt es sich um ein lokales Maximum (f''(x) < 0) oder ein lokales Minimum (f''(x) > 0).
- Ist f''(x) am Kandidatenpunkt Null, ist keine Aussage möglich und weitere Untersuchungen sind erforderlich.
Vorzeichenuntersuchung der ersten Ableitung (immer notwendig): Untersuche das Vorzeichen von f'(x) vor und nach jedem Kandidatenpunkt.
- Wechselt f'(x) das Vorzeichen, handelt es sich um ein lokales Maximum oder Minimum.
- Wechselt f'(x) nicht das Vorzeichen, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Beispiele:

f(x) = x³: Hier ist f'(x) = 3x² und f''(x) = 6x. f'(x) = 0 für x = 0. f''(0) = 0. Aber f'(x) ist für x < 0 und x > 0 positiv, also handelt es sich um einen Sattelpunkt bei x = 0.
f(x) = x⁴: Hier ist f'(x) = 4x³ und f''(x) = 12x². f'(x) = 0 für x = 0. f''(0) = 0. Allerdings handelt es sich hier nicht um einen Sattelpunkt, sondern um ein lokales Minimum, da f(x) für x < 0 und x > 0 positive Werte hat.

Zusammenfassung:

Der Sattelpunkt ist ein spezieller Punkt auf dem Graphen einer Funktion, der eine waagerechte Tangente aufweist, aber kein lokales Extremum ist. Die Vorzeichenuntersuchung der ersten Ableitung ist der entscheidende Schritt, um einen Sattelpunkt zu identifizieren.

Weiterführende Informationen: