Was ist polynom?
Polynom
Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus Variablen (auch Unbestimmte genannt) und Koeffizienten besteht, die nur die Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und nicht-negativen ganzzahligen Exponenten von Variablen beinhalten.
Allgemeine Form:
Ein Polynom in einer Variablen x hat die allgemeine Form:
p(x) = a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup> + ... + a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub>
wobei:
- x die Variable ist.
- a<sub>n</sub>, a<sub>n-1</sub>, ..., a<sub>1</sub>, a<sub>0</sub> die Koeffizienten sind (meistens reelle oder komplexe Zahlen).
- n ein nicht-negativer ganze Zahl ist (der Grad des Polynoms, falls a<sub>n</sub> ≠ 0).
- a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>, a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>, ..., a<sub>1</sub>x, a<sub>0</sub> sind die Glieder des Polynoms.
Wichtige Begriffe:
- Grad: Der höchste Exponent der Variablen im Polynom. Z.B. hat p(x) = 3x<sup>4</sup> + 2x<sup>2</sup> - x + 5 den Grad 4.
- Leitkoeffizient: Der Koeffizient des Gliedes mit dem höchsten Grad. Z.B. ist 3 der Leitkoeffizient im obigen Beispiel.
- Konstantes Glied: Der Term ohne Variable (a<sub>0</sub>). Z.B. ist 5 das konstante Glied im obigen Beispiel.
- Nullstellen: Werte für die Variable, die das Polynom gleich Null setzen, d.h. p(x) = 0. Die Suche nach Nullstellen ist ein wichtiges Problem in der Algebra.
Operationen mit Polynomen:
- Addition und Subtraktion: Polynome werden addiert oder subtrahiert, indem man die Koeffizienten von Gliedern mit gleichen Exponenten addiert oder subtrahiert.
- Multiplikation: Polynome werden multipliziert, indem jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Glied des anderen Polynoms multipliziert und dann die gleichartigen Glieder zusammengefasst werden.
- Division: Die Division von Polynomen erfolgt meist durch die Polynomdivision.
Anwendungen:
Polynome finden in vielen Bereichen Anwendung, wie z.B.:
- Mathematik: Algebra, Analysis, Numerik
- Physik: Modellierung von Bewegungen, Schwingungen
- Ingenieurwesen: Regelungstechnik, Signalverarbeitung
- Informatik: Computergrafik, Algorithmen