Was ist polynom?

Polynom

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus Variablen (auch Unbestimmte genannt) und Koeffizienten besteht, die nur die Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und nicht-negativen ganzzahligen Exponenten von Variablen beinhalten.

Allgemeine Form:

Ein Polynom in einer Variablen x hat die allgemeine Form:

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

wobei:

• x die Variable ist.
• a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ die Koeffizienten sind (meistens reelle oder komplexe Zahlen).
• n ein nicht-negativer ganze Zahl ist (der Grad des Polynoms, falls a_n ≠ 0).
• a_nxⁿ, a_n-1x^n-1, ..., a₁x, a₀ sind die Glieder des Polynoms.

Wichtige Begriffe:

• Grad: Der höchste Exponent der Variablen im Polynom. Z.B. hat p(x) = 3x⁴ + 2x² - x + 5 den Grad 4.
• Leitkoeffizient: Der Koeffizient des Gliedes mit dem höchsten Grad. Z.B. ist 3 der Leitkoeffizient im obigen Beispiel.
• Konstantes Glied: Der Term ohne Variable (a₀). Z.B. ist 5 das konstante Glied im obigen Beispiel.
• Nullstellen: Werte für die Variable, die das Polynom gleich Null setzen, d.h. p(x) = 0. Die Suche nach Nullstellen ist ein wichtiges Problem in der Algebra.

Operationen mit Polynomen:

• Addition und Subtraktion: Polynome werden addiert oder subtrahiert, indem man die Koeffizienten von Gliedern mit gleichen Exponenten addiert oder subtrahiert.
• Multiplikation: Polynome werden multipliziert, indem jedes Glied des einen Polynoms mit jedem Glied des anderen Polynoms multipliziert und dann die gleichartigen Glieder zusammengefasst werden.
• Division: Die Division von Polynomen erfolgt meist durch die Polynomdivision.

Anwendungen:

Polynome finden in vielen Bereichen Anwendung, wie z.B.:

• Mathematik: Algebra, Analysis, Numerik
• Physik: Modellierung von Bewegungen, Schwingungen
• Ingenieurwesen: Regelungstechnik, Signalverarbeitung
• Informatik: Computergrafik, Algorithmen