Was ist kettenregel?

Die Kettenregel ist eine Regel aus der Differential- und Integralrechnung, mit der man die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion berechnen kann. Sie besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion ist.

Formal ausgedrückt lautet die Kettenregel folgendermaßen: Sei f(x) eine zusammengesetzte Funktion mit der äußeren Funktion g(u) und der inneren Funktion u(x), dann ist die Ableitung von f(x) gegeben durch: f'(x) = g'(u) * u'(x)

Die äußere Funktion g(u) wird dabei zuerst abgeleitet und anschließend die innere Funktion u(x). Das Produkt beider Ableitungen ergibt die Ableitung der zusammengesetzten Funktion f(x).

Die Kettenregel wird in vielen Bereichen der Mathematik angewendet, vor allem in der Analysis, Physik und Ingenieurwissenschaften. Sie ermöglicht es, komplexe Funktionen zu differenzieren, indem sie in einzelne einfacher differenzierbare Funktionen zerlegt werden können.

Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = sin(3x^2). Die äußere Funktion ist g(u) = sin(u) und die innere Funktion ist u(x) = 3x^2. Die Ableitung der äußeren Funktion g'(u) ist cos(u), also g'(u) = cos(u). Die Ableitung der inneren Funktion u'(x) ist 6x, also u'(x) = 6x.

Gemäß der Kettenregel ergibt sich nun die Ableitung von f(x) durch das Produkt beider Ableitungen: f'(x) = g'(u) * u'(x) = cos(u) * 6x = 6x * cos(3x^2). Somit ist die Ableitung von f(x) gleich 6x mal dem Kosinus von 3x^2.