Was ist fehlerfortpflanzung?

Fehlerfortpflanzung

Die Fehlerfortpflanzung, auch Fehlerrechnung genannt, ist eine Methode zur Abschätzung der Unsicherheit einer Funktion, wenn die Unsicherheit ihrer Eingabeparameter bekannt ist. Im Wesentlichen wird untersucht, wie sich Fehler in den Eingangsgrößen auf das Ergebnis einer Berechnung auswirken.

Grundlegende Konzepte:

• Fehler (Unsicherheit): Eine Schätzung der Abweichung eines Messwertes vom wahren Wert. Typischerweise als Standardabweichung oder Standardunsicherheit ausgedrückt. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Fehler%20(Unsicherheit))

• Funktion: Eine mathematische Beziehung, die die Eingangsgrößen mit der Ausgangsgröße verbindet.

Methoden der Fehlerfortpflanzung:

Es gibt verschiedene Methoden zur Fehlerfortpflanzung, wobei die gebräuchlichsten sind:

• Lineare Fehlerfortpflanzung (Gaußsche Fehlerfortpflanzung): Eine Annäherungsmethode, die auf der linearen Taylor-Reihenentwicklung der Funktion basiert. Sie ist einfach anzuwenden, funktioniert aber nur gut, wenn die Fehler klein sind und die Funktion hinreichend linear ist. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Lineare%20Fehlerfortpflanzung)

• Monte-Carlo-Simulation: Eine numerische Methode, bei der zufällige Werte innerhalb der Fehlerbereiche der Eingangsgrößen generiert werden. Die Funktion wird dann mit diesen zufälligen Werten ausgewertet, und die Verteilung der Ergebnisse wird verwendet, um die Unsicherheit des Ergebnisses zu schätzen. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Monte-Carlo-Simulation)

Lineare Fehlerfortpflanzung - Details:

Für eine Funktion f(x, y, z, ...) mit unabhängigen Variablen x, y, z, ... und zugehörigen Standardunsicherheiten σx, σy, σz, ... wird die Standardunsicherheit des Ergebnisses σf wie folgt berechnet:

σf ≈ √((∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy² + (∂f/∂z)²σz² + ...)

Hierbei sind ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z, ... die partiellen Ableitungen der Funktion f nach den jeweiligen Variablen.

Wichtige Überlegungen:

• Unabhängigkeit: Die lineare Fehlerfortpflanzung setzt voraus, dass die Eingangsgrößen unabhängig voneinander sind. Wenn die Eingangsgrößen korreliert sind, muss die Formel entsprechend angepasst werden. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Unabhängigkeit%20von%20Variablen)

• Nicht-lineare Funktionen: Für stark nicht-lineare Funktionen kann die lineare Fehlerfortpflanzung ungenaue Ergebnisse liefern. In solchen Fällen ist die Monte-Carlo-Simulation oft eine bessere Wahl.

• Bedeutung der Ableitungen: Die partiellen Ableitungen zeigen die Sensitivität des Ergebnisses bezüglich Änderungen in den Eingangsgrößen. Größere Ableitungen bedeuten, dass kleine Fehler in der entsprechenden Eingangsgröße einen größeren Einfluss auf das Ergebnis haben. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Partielle%20Ableitungen)

• Einheiten: Achten Sie darauf, dass alle Größen in konsistenten Einheiten ausgedrückt werden, bevor Sie die Fehlerfortpflanzung durchführen.

Zusammenfassend ist die Fehlerfortpflanzung ein wichtiges Werkzeug, um die Unsicherheit in berechneten Größen zu quantifizieren. Die lineare Fehlerfortpflanzung ist eine einfache und weit verbreitete Methode, aber ihre Anwendbarkeit ist auf Fälle mit kleinen Fehlern und hinreichend linearen Funktionen beschränkt. Für komplexere Fälle ist die Monte-Carlo-Simulation eine robustere Alternative.