Was ist drehmatrix?

Eine Drehmatrix ist eine Matrix, die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine Drehung im euklidischen Raum darzustellen. Sie wird verwendet, um die Koordinaten eines Vektors um einen bestimmten Winkel um einen festen Punkt, den Drehpunkt, zu transformieren. Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante 1. Sie bilden die spezielle orthogonale Gruppe (SO).

Hier sind einige wichtige Aspekte:

• Definition: Eine Drehmatrix ist eine quadratische Matrix, die eine Drehung im Raum beschreibt.
• Eigenschaften:
  • Orthogonal: Das bedeutet, dass ihre Transponierte gleich ihrer Inversen ist.
  • Determinante: Ihre Determinante ist immer 1.
• 2D-Drehung: In zwei Dimensionen hat die Drehmatrix die folgende Form:

R = | cos(θ)  -sin(θ) |
    | sin(θ)   cos(θ) |

wobei θ der Drehwinkel im Gegenuhrzeigersinn ist.

• 3D-Drehung: In drei Dimensionen können Drehungen um die x-, y- und z-Achse durch Matrizen dargestellt werden. Die allgemeine Form der Drehmatrix in 3D ist komplizierter und kann durch Kombination dieser Einzelrotationen erzeugt werden, typischerweise mit Euler-Winkeln oder Quaternionen.
• Anwendungen: Drehmatrizen finden Anwendung in vielen Bereichen, darunter:
  • Computergrafik
  • Robotik
  • Physik
  • Ingenieurwesen
• Transformation: Um einen Vektor zu drehen, multipliziert man die Drehmatrix mit dem Vektor.

Beispiel:

Wenn v ein Vektor ist und R eine Drehmatrix, dann ist v' = R * v der gedrehte Vektor.