Was ist polarkoordinaten?

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten sind ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt in der Ebene durch einen Abstand vom Ursprung (dem Pol) und einen Winkel zu einer Referenzrichtung (der Polarachse) bestimmt wird.

Grundlagen:

• Pol: Der Ursprung des Koordinatensystems (entspricht (0,0) in kartesischen Koordinaten).
• Polarachse: Eine Referenzlinie, üblicherweise die positive x-Achse in kartesischen Koordinaten.
• Radius (r): Der Abstand vom Pol zum Punkt. Ist immer nicht-negativ (r ≥ 0).
• Winkel (θ): Der Winkel, gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn von der Polarachse zum Liniensegment, das den Pol mit dem Punkt verbindet. Wird typischerweise in Radiant oder Grad angegeben.

Darstellung eines Punktes:

Ein Punkt P in Polarkoordinaten wird als (r, θ) dargestellt.

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten:

• Von Polarkoordinaten (r, θ) zu kartesischen Koordinaten (x, y):

  • x = r * cos(θ)
  • y = r * sin(θ)

• Von kartesischen Koordinaten (x, y) zu Polarkoordinaten (r, θ):

  • r = √(x² + y²)
  • θ = arctan(y/x) (Achtung: Der Arkustangens liefert nur Werte zwischen -π/2 und π/2. Man muss den Quadranten von (x, y) berücksichtigen, um den korrekten Winkel θ zu bestimmen). Siehe arctan%20funktion für mehr details.

Eindeutigkeit:

Polarkoordinaten sind nicht eindeutig. Für einen gegebenen Punkt (x, y) gibt es unendlich viele Polarkoordinaten (r, θ), die denselben Punkt repräsentieren. Dies liegt daran, dass das Hinzufügen von Vielfachen von 2π (oder 360°) zum Winkel θ denselben Punkt ergibt. Außerdem kann man ein negatives r und einen angepassten Winkel verwenden.

Anwendungen:

Polarkoordinaten sind besonders nützlich für:

• Beschreibung von Kreisbewegungen und Spiralen: kreisbewegung und spirale
• Probleme mit zentrischer Symmetrie: z.B. Berechnungen in der Physik (Elektromagnetismus, Gravitation).
• Computergrafik: z.B. Erzeugung von radialen Mustern oder Transformationen.
• Navigation: navigation, z.B. bei der Verwendung von Radar.
• Komplexe Zahlen: komplexe%20zahlen lassen sich elegant in Polarkoordinaten darstellen (Betrag und Argument).