Was ist komplexe zahlen?

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, die die imaginäre Einheit i beinhalten. Die imaginäre Einheit ist definiert als die Quadratwurzel von -1 (i.e., i² = -1).

Definition und Darstellung

Eine komplexe Zahl wird üblicherweise in der Form a + bi dargestellt, wobei:

• a der Realteil ist (Realteil von z = Re(z) = a).
• b der Imaginärteil ist (Imaginärteil von z = Im(z) = b).
• i die imaginäre Einheit ist.

Komplexe Zahlen können auch in Polarform dargestellt werden: r(cos θ + i sin θ) oder kurz r * e^(iθ).

• r ist der Betrag (oder Modul) der komplexen Zahl.
• θ ist das Argument (oder Winkel) der komplexen Zahl.

Grundlegende Operationen

Komplexe Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden:

• Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Subtraktion: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
• Multiplikation: (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Division: (a + bi) / (c + di) = ((ac + bd) / (c² + d²)) + ((bc - ad) / (c² + d²))i

Konjugiert komplexe Zahl

Die zu einer komplexen Zahl z = a + bi konjugiert komplexe Zahl ist z̄ = a - bi. Der Betrag der komplexen Zahl und ihres Konjugats sind gleich. Das Produkt einer komplexen Zahl und ihrer konjugierten Zahl ist eine reelle Zahl: z * z̄ = a² + b². Weitere Informationen finden Sie unter Konjugiert%20Komplexe%20Zahl.

Betrag (Modul)

Der Betrag (oder Modul) einer komplexen Zahl z = a + bi wird berechnet als |z| = √(a² + b²). Geometrisch entspricht der Betrag dem Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung in der komplexen Ebene. Weitere Informationen finden Sie unter Betrag%20einer%20komplexen%20Zahl.

Argument (Winkel)

Das Argument einer komplexen Zahl z = a + bi ist der Winkel θ zwischen der positiven reellen Achse und der Linie, die den Ursprung mit der komplexen Zahl in der komplexen Ebene verbindet. Es wird berechnet als θ = arctan(b/a). Die Berechnung des Arguments erfordert besondere Beachtung des Quadranten, in dem die komplexe Zahl liegt. Weitere Informationen finden Sie unter Argument%20einer%20komplexen%20Zahl.

Komplexe Ebene (Gaußsche Zahlenebene)

Die komplexe Ebene ist eine geometrische Darstellung komplexer Zahlen, wobei die horizontale Achse die reelle Achse und die vertikale Achse die imaginäre Achse ist. Jede komplexe Zahl a + bi kann als ein Punkt mit den Koordinaten (a, b) in dieser Ebene dargestellt werden.

Anwendungen

Komplexe Zahlen finden Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften, z.B.:

• Wechselstromberechnung in der Elektrotechnik
• Quantenmechanik
• Signalverarbeitung
• Strömungsmechanik
• Fraktale (z.B. die Mandelbrot-Menge)