Die Cramersche Regel ist eine Formel zur Lösung linearer Gleichungssysteme, bei der die Lösung durch Determinanten ausgedrückt wird. Sie ist nach Gabriel Cramer benannt.
Anwendung:
Die Cramersche Regel kann verwendet werden, um die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und n Unbekannten zu finden, vorausgesetzt die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich Null.
Formel:
Für ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b, wobei A die Koeffizientenmatrix, x der Vektor der Unbekannten und b der Vektor der konstanten Terme ist, wird die Lösung für die i-te Variable, x<sub>i</sub>, wie folgt berechnet:
x<sub>i</sub> = det(A<sub>i</sub>) / det(A)
wobei A<sub>i</sub> die Matrix ist, die entsteht, wenn die i-te Spalte von A durch den Vektor b ersetzt wird.
Bedeutung von Determinanten:
Die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Determinanten">Determinante</a> einer Matrix ist ein Skalarwert, der bestimmte Eigenschaften der Matrix repräsentiert. Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix (det(A)) Null ist, hat das Gleichungssystem entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen, und die Cramersche Regel kann nicht direkt angewendet werden.
Vorteile:
Nachteile:
Alternative Lösungsverfahren:
Alternativen zur Cramerschen Regel umfassen die Gaußsche Elimination, die LU-Zerlegung und iterative Methoden, die für größere Systeme oft effizienter sind. Die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Matrixinversion">Matrixinversion</a> und anschließende Multiplikation mit dem Vektor b liefert ebenfalls die Lösung, ist aber ebenfalls rechenaufwendig.
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