Was ist übertragungsfunktion?

Die Übertragungsfunktion ist ein mathematisches Modell, das das Verhältnis zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal eines Systems im Frequenzbereich beschreibt. Sie ist ein zentrales Konzept in der Regelungstechnik, der Signalverarbeitung und verwandten Gebieten.

• Definition: Die Übertragungsfunktion, oft mit H(s) oder G(s) bezeichnet, ist die Laplace-Transformation des Ausgangssignals dividiert durch die Laplace-Transformation des Eingangssignals, unter der Annahme von Null-Anfangsbedingungen. Mathematisch: H(s) = Y(s) / X(s), wobei Y(s) die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals und X(s) die Laplace-Transformierte des Eingangssignals ist.

• Anwendung: Sie wird verwendet, um das Verhalten von Systemen wie Verstärkern, Filtern, Regelkreisen und anderen dynamischen Systemen zu analysieren und zu entwerfen. Durch die Kenntnis der Übertragungsfunktion kann man die Stabilität, die Frequenzantwort und andere wichtige Eigenschaften des Systems vorhersagen.

• Frequenzantwort: Die Frequenzantwort eines Systems kann aus der Übertragungsfunktion abgeleitet werden, indem man s durch jω ersetzt, wobei j die imaginäre Einheit ist und ω die Frequenz. Die Frequenzantwort gibt Auskunft darüber, wie das System auf verschiedene Frequenzen reagiert (z.B. Verstärkung und Phasenverschiebung). Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/frequenzgang

• Pole und Nullstellen: Die Übertragungsfunktion ist typischerweise eine rationale Funktion, d.h. ein Quotient zweier Polynome. Die Nullstellen sind die Werte von s, für die der Zähler Null wird, und die Pole sind die Werte von s, für die der Nenner Null wird. Die Lage der Pole und Nullstellen in der komplexen Ebene bestimmt maßgeblich das Verhalten des Systems. Pole in der rechten Halbebene deuten beispielsweise auf Instabilität hin. Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/pol-nullstellen-diagramm

• Stabilität: Die Stabilität eines Systems kann anhand der Übertragungsfunktion beurteilt werden. Ein System ist stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion in der linken Halbebene der komplexen Ebene liegen. Verschiedene Stabilitätskriterien, wie das Nyquist-Kriterium oder das Hurwitz-Kriterium, können angewendet werden. Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/stabilität

• Systemanalyse und -design: Übertragungsfunktionen ermöglichen die Analyse und den Entwurf von Regelungssystemen. Durch die Manipulation der Übertragungsfunktion (z.B. durch Hinzufügen von Reglern) kann man die Systemperformance, wie z.B. die Einschwingzeit, die Überschwingweite und den stationären Fehler, verbessern. Siehe auch: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/regelkreis