Was ist vektorprodukt?

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt, ist eine binäre Operation, die zwei Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum einen neuen Vektor zuordnet. Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf den beiden ursprünglichen Vektoren und seine Richtung wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt.

Definition:

Das Vektorprodukt zweier Vektoren a und b wird als a × b geschrieben und ist wie folgt definiert:

a × b = |a| |b| sin(θ) n

wobei:

• |a| und |b| die Beträge der Vektoren a und b sind.
• θ der Winkel zwischen den Vektoren a und b ist (0° ≤ θ ≤ 180°).
• n ein Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Ebene steht, die von a und b aufgespannt wird. Seine Richtung wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt (Daumen in Richtung a, Zeigefinger in Richtung b, Mittelfinger zeigt in Richtung n).

Eigenschaften:

• Nicht kommutativ: Kommutativität a × b = - (b × a)
• Distributiv: Distributivität a × (b + c) = a × b + a × c
• Assoziativ (mit Skalar): (ka) × b = a × (kb) = k (a × b)
• Vektorprodukt paralleler Vektoren: Wenn a und b parallel sind (θ = 0° oder 180°), dann ist a × b = 0 (Nullvektor).
• Geometrische Interpretation: Der Betrag des Vektorprodukts |a × b| ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das von den Vektoren a und b aufgespannt wird.
• Rechtssystem: Das Vektorprodukt erzeugt ein Rechtssystem mit den Vektoren a, b und a × b.

Berechnung in kartesischen Koordinaten:

Wenn a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) sind, dann ist:

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Dies kann mithilfe einer Determinante berechnet werden:

a × b = | i j k | | a₁ a₂ a₃ | | b₁ b₂ b₃ |

wobei i, j und k die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-Achse sind.

Anwendungen:

Das Vektorprodukt hat viele Anwendungen in verschiedenen Bereichen, wie z.B.:

• Physik: Berechnung von Drehmoment, Winkelgeschwindigkeit, magnetischer Kraft auf einen bewegten Ladungsträger.
• Computergrafik: Berechnung von Normalenvektoren für Flächen, Sichtbarkeitstests.
• Ingenieurwesen: Berechnung von Kräften und Momenten in statischen Systemen.
• Mathematik: Berechnung von Flächen und Volumina, Definition von orthogonalen Vektoren.