Was ist tangenssatz?

Der Tangenssatz ist ein Lehrsatz der Trigonometrie, der eine Beziehung zwischen den Tangenten zweier Winkel eines Dreiecks und den Längen der gegenüberliegenden Seiten herstellt. Er kann verwendet werden, um die fehlenden Seiten oder Winkel eines Dreiecks zu berechnen, wenn bestimmte Informationen bekannt sind.

Die Formel:

Für ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, und c, und den Winkeln α, β, und γ, die den Seiten a, b, und c gegenüberliegen, gilt:

(a - b) / (a + b) = tan((α - β) / 2) / tan((α + β) / 2)

Ähnliche Formeln gelten natürlich auch für andere Seiten- und Winkelkombinationen:

(b - c) / (b + c) = tan((β - γ) / 2) / tan((β + γ) / 2)
(c - a) / (c + a) = tan((γ - α) / 2) / tan((γ + α) / 2)

Anwendungen:

Der Tangenssatz ist besonders nützlich in Fällen, in denen der <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Sinussatz">Sinussatz</a> zu Mehrdeutigkeiten führen kann (der "ambiguous case"), da der Tangenssatz keine mehrdeutigen Lösungen liefert. Er findet Anwendung in der <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Navigation">Navigation</a>, <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Vermessung">Vermessung</a> und anderen Bereichen, in denen Dreiecke gelöst werden müssen.

Herleitung:

Die Herleitung des Tangenssatzes basiert auf dem Sinussatz und trigonometrischen Identitäten.

Vorteile gegenüber dem Sinussatz:

• Eindeutigkeit: Vermeidet die Mehrdeutigkeitsprobleme, die beim Sinussatz auftreten können.
• Numerische Stabilität: Kann in bestimmten Fällen numerisch stabiler sein.

Alternative Namen:

Der Tangenssatz wird auch als Tangentensatz oder Tangens-Theorem bezeichnet.