Was ist partialbruchzerlegung?
Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung (PBZ) ist eine Methode in der Algebra, um rationale Funktionen in einfachere Brüche zu zerlegen. Dies ist besonders nützlich bei der Integration und bei der Arbeit mit Laplace-Transformationen.
Grundidee:
Eine rationale Funktion, die als Quotient zweier Polynome dargestellt wird, lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen als Summe von einfacheren Brüchen darstellen. Diese einfacheren Brüche haben Nenner, die Faktoren des ursprünglichen Nenners sind.
Voraussetzungen:
- Die rationale Funktion muss echt sein, d.h. der Grad des Zählerpolynoms muss kleiner sein als der Grad des Nennerpolynoms. Ist dies nicht der Fall, muss zuerst eine Polynomdivision durchgeführt werden.
- Der Nenner muss in Linearfaktoren und/oder irreduzible quadratische Faktoren zerlegbar sein.
Vorgehensweise:
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Faktorisierung des Nenners: Zerlege den Nenner der rationalen Funktion in seine irreduziblen Faktoren. Dies können lineare Faktoren der Form (x - a) oder irreduzible quadratische Faktoren der Form (ax² + bx + c) sein.
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Ansatz für die Partialbruchzerlegung: Für jeden Faktor im Nenner wird ein entsprechender Bruch im Ansatz erstellt:
- Für jeden linearen Faktor (x - a) erscheint ein Term der Form A/(x - a), wobei A eine Konstante ist.
- Für jeden mehrfachen linearen Faktor (x - a)^n erscheinen n Terme der Form A₁/(x - a) + A₂/(x - a)² + ... + Aₙ/(x - a)^n.
- Für jeden irreduziblen quadratischen Faktor (ax² + bx + c) erscheint ein Term der Form (Bx + C)/(ax² + bx + c), wobei B und C Konstanten sind.
- Für jeden mehrfachen irreduziblen quadratischen Faktor (ax² + bx + c)^n erscheinen n Terme der Form (B₁x + C₁)/(ax² + bx + c) + (B₂x + C₂)/(ax² + bx + c)² + ... + (Bₙx + Cₙ)/(ax² + bx + c)^n.
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Bestimmung der Konstanten: Die unbekannten Konstanten (A, B, C, etc.) werden durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem ursprünglichen Nenner und anschließendes Lösen des resultierenden linearen Gleichungssystems bestimmt. Es gibt verschiedene Methoden, um die Konstanten zu finden:
- Koeffizientenvergleich: Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner und vergleiche dann die Koeffizienten der gleichen Potenzen von x auf beiden Seiten. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem.
- Einsetzen von Werten: Setze geeignete Werte für x ein, um die Gleichung zu vereinfachen und die Konstanten zu bestimmen. Besonders nützlich, wenn lineare Faktoren im Nenner vorhanden sind (z.B. x = a für den Faktor (x - a)).
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Zusammensetzen der Partialbruchzerlegung: Setze die gefundenen Konstanten in den Ansatz ein, um die Partialbruchzerlegung zu erhalten.
Anwendungsgebiete:
- Integration: Die Partialbruchzerlegung erleichtert die Integration rationaler Funktionen, da die einzelnen Partialbrüche oft einfacher zu integrieren sind.
- Laplace-Transformation: Bei der Rücktransformation von Laplace-Transformierten hilft die Partialbruchzerlegung, die Funktion in eine Form zu bringen, die in Tabellenwerken nachgeschlagen werden kann.
- Reihenentwicklung: Die Partialbruchzerlegung kann verwendet werden, um rationale Funktionen in Potenzreihen zu entwickeln.
- Signalverarbeitung: In der Signalverarbeitung wird die PBZ zur Analyse und Synthese von Systemen verwendet, die durch rationale Übertragungsfunktionen beschrieben werden.
Wichtige Themen: