Was ist matrixmultiplikation?

Matrixmultiplikation

Die Matrixmultiplikation ist eine binäre Operation, die zwei Matrizen miteinander kombiniert, um eine neue Matrix zu erzeugen. Sie ist ein grundlegendes Werkzeug in der linearen Algebra mit vielfältigen Anwendungen in Bereichen wie Informatik, Physik und Ingenieurwesen.

Definition:

Die Multiplikation zweier Matrizen A (m x n) und B (p x q) ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix (A) gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix (B) ist (also n = p). Das Ergebnis ist eine Matrix C (m x q). Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von C wird berechnet als das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B.

Formel:

Sei A eine m x n Matrix und B eine n x q Matrix. Dann ist das Element c_ij der Produktmatrix C = AB gegeben durch:

c_ij = ∑_k=1ⁿ a_ikb_kj

Eigenschaften:

• Nicht-Kommutativität: Im Allgemeinen ist AB ≠ BA. Die Reihenfolge der Matrizen ist wichtig. Siehe Nicht-Kommutativität
• Assoziativität: (AB)C = A(BC)
• Distributivität: A(B + C) = AB + AC und (A + B)C = AC + BC
• Multiplikation mit der Einheitsmatrix: AI = A und IA = A, wobei I die Einheitsmatrix ist. Siehe Einheitsmatrix

Beispiel:

Gegeben seien die Matrizen:

A = [ 1 2 ] [ 3 4 ]

B = [ 5 6 ] [ 7 8 ]

Das Produkt C = AB wird wie folgt berechnet:

C = [ (1*5 + 2*7) (1*6 + 2*8) ] [ (3*5 + 4*7) (3*6 + 4*8) ]

C = [ 19 22 ] [ 43 50 ]

Anwendungen:

• Lineare Transformationen: Matrizen können verwendet werden, um lineare Transformationen wie Drehungen, Skalierungen und Scherungen darzustellen. Die Multiplikation von Matrizen entspricht der Verkettung dieser Transformationen.
• Lösung von linearen Gleichungssystemen: Die Matrixmultiplikation ist ein wesentlicher Bestandteil der Lösung von linearen Gleichungssystemen mithilfe von Verfahren wie dem Gauß-Eliminationsverfahren.
• Computergrafik: Die Matrixmultiplikation wird verwendet, um Objekte im 3D-Raum zu transformieren und zu projizieren.
• Neuronale Netze: Matrixmultiplikation ist eine Kernoperation in neuronalen Netzen, insbesondere in den voll verbundenen Schichten.

Rechenaufwand:

Die Standard-Matrixmultiplikation hat eine Zeitkomplexität von O(n³), wobei n die Dimension der Matrizen ist (wenn beide Matrizen n x n sind). Es gibt effizientere Algorithmen wie den Strassen-Algorithmus, der eine Komplexität von O(n^log₂7) ≈ O(n^2.81) aufweist, aber diese sind oft nur für sehr große Matrizen von Vorteil.

Wichtige Aspekte:

• Die Multiplikation ist nicht immer definiert. Die Dimensionen der Matrizen müssen kompatibel sein.
• Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
• Es ist wichtig, die Reihenfolge der Operationen zu beachten, um Fehler zu vermeiden.

Für weitere Informationen siehe Lineare%20Algebra.