Was ist kreuzprodukt?

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, ist eine binäre Operation, die zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum (ℝ³) einen Vektor zuordnet, der senkrecht auf den beiden ursprünglichen Vektoren steht.

Definition:

Gegeben seien zwei Vektoren a = (a₁, a₂, a₃) und b = (b₁, b₂, b₃) im ℝ³. Das Kreuzprodukt a × b ist definiert als:

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Eigenschaften:

• Orthogonalität: Der Ergebnisvektor a × b steht senkrecht auf sowohl a als auch b.
• Betrag: Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Fläche des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms: |a × b| = |a| |b| sin(θ), wobei θ der Winkel zwischen a und b ist. Siehe auch: Fläche%20eines%20Parallelogramms.
• Rechtssystem: Die Vektoren a, b und a × b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).
• Antikommutativität: a × b = - (b × a)
• Distributivität: a × (b + c) = a × b + a × c
• Assoziativität (bzgl. Skalarmultiplikation): (ka) × b = a × (kb) = k(a × b) für jeden Skalar k.

Anwendungen:

• Flächenberechnung: Berechnung der Fläche eines Parallelogramms oder Dreiecks, das von zwei Vektoren aufgespannt wird.
• Drehmoment: Berechnung des Drehmoments einer Kraft.
• Normalenvektor: Finden eines Vektors, der senkrecht zu einer Ebene steht.
• Orientierung: Bestimmung der Orientierung von Objekten im Raum.

Berechnung:

Das Kreuzprodukt kann mithilfe einer Determinante berechnet werden:

a × b = det | i j k | | a₁ a₂ a₃ | | b₁ b₂ b₃ |

wobei i, j und k die Einheitsvektoren in x-, y- bzw. z-Richtung sind. Siehe auch: Determinante und Einheitsvektoren.

Zusammenfassend ist das Kreuzprodukt ein nützliches Werkzeug in der Vektorrechnung, um orthogonal Vektoren zu finden, Flächen zu berechnen und die Orientierung im dreidimensionalen Raum zu bestimmen. Es ist wichtig, die Rechte-Hand-Regel zu beachten, um die korrekte Richtung des Ergebnisvektors zu ermitteln.