Was ist eigental?

Eigental

Das Eigental (auch Eigenraum) ist ein zentraler Begriff in der linearen Algebra. Es beschreibt einen Unterraum eines Vektorraums, der durch eine lineare Abbildung unverändert bleibt, abgesehen von einer Skalierung.

Definition:

Gegeben sei eine lineare Abbildung f: V -> V und ein Skalar λ (Element des Körpers, über dem der Vektorraum V definiert ist). Der Eigenraum von f zum Eigenwert λ ist die Menge aller Vektoren v in V, für die gilt:

f(v) = λv

Formell:

E_λ = {v ∈ V | f(v) = λv}

Wichtige Konzepte:

• Eigenwert: λ ist der Faktor, um den ein Eigenvektor bei Anwendung der linearen Abbildung skaliert wird. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Eigenwert)
• Eigenvektor: Ein Vektor v ≠ 0, der die obige Gleichung erfüllt, wird als Eigenvektor zum Eigenwert λ bezeichnet. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Eigenvektor)
• Lineare%20Abbildung: Das Eigental ist immer im Kontext einer linearen Transformation definiert. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Lineare%20Abbildung)
• Vektorraum: Der Eigenraum ist ein Unterraum des zugrunde liegenden Vektorraums. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Vektorraum)

Eigenschaften:

• Der Eigenraum E_λ ist ein Unterraum von V.
• Der Nullvektor gehört immer zum Eigenraum, wird aber nicht als Eigenvektor betrachtet.
• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Anwendungen:

Eigenwerte und Eigenvektoren (und damit auch Eigenräume) spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen, darunter:

• Lineare Algebra: Diagonalisierung von Matrizen, Lösung von linearen Differentialgleichungen.
• Physik: Quantenmechanik (z.B. Energieeigenwerte), Schwingungsanalyse.
• Informatik: PageRank-Algorithmus (Google), Bildkompression (z.B. PCA).