Was ist binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient ist ein mathematischer Begriff, der in der Kombinatorik verwendet wird. Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus einer Menge von n Objekten auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Der Binomialkoeffizient wird oft als "n über k" geschrieben und kann durch die Formel

(n über k) = n! / (k! * (n-k)!)

berechnet werden, where "!" bezeichnet die Fakultät einer Zahl, d.h. das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl.

Der Binomialkoeffizient hat verschiedene Anwendungen in der Kombinatorik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Analysis. Er findet zum Beispiel Anwendung in der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen bei mehrfachen unabhängigen Versuchen (wie dem Werfen von Münzen oder dem Ziehen von Karten aus einem Deck) und in der Taylor-Reiheentwicklung von Funktionen.

Der Binomialkoeffizient hat einige interessante Eigenschaften. Er ist symmetrisch, das heißt (n über k) = (n über (n-k)). Er erfüllt auch die sogenannte Pascal'sche Identität, die besagt, dass (n+1 über k) = (n über k-1) + (n über k).

In der mathematischen Notation wird der Binomialkoeffizient manchmal auch als "C(n, k)" oder "Cnk" geschrieben.