Was ist binomialverteilung?

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Sequenz von n unabhängigen Versuchen beschreibt, wobei jeder Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist bei jedem Versuch konstant p.

Grundlegende Konzepte:

• Bernoulli-Experiment: Die Binomialverteilung basiert auf der Wiederholung unabhängiger Bernoulli-Experimente. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg.

• Anzahl Versuche (n): Die Gesamtzahl der durchgeführten unabhängigen Versuche.

• Erfolgswahrscheinlichkeit (p): Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einem einzelnen Versuch. Diese muss für alle Versuche gleich bleiben.

• Anzahl Erfolge (k): Die Anzahl der Erfolge, die in den n Versuchen beobachtet werden. Dies ist der Wert, dessen Wahrscheinlichkeit wir berechnen wollen.

Formel:

Die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge in n Versuchen zu erzielen, wird mit folgender Formel berechnet:

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)

wobei (n choose k) der Binomialkoeffizient ist, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen. Er wird berechnet als:

(n choose k) = n! / (k! * (n-k)!)

Eigenschaften der Binomialverteilung:

• Erwartungswert (Mittelwert): E(X) = n * p

• Varianz: Var(X) = n * p * (1-p)

• Standardabweichung: SD(X) = sqrt(n * p * (1-p))

Anwendungsbeispiele:

Die Binomialverteilung findet Anwendung in vielen Bereichen, darunter:

• Qualitätskontrolle: Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe gefunden wird.
• Meinungsforschung: Vorhersage des Wahlergebnisses basierend auf einer Stichprobe von Befragten.
• Medizin: Beurteilung der Wirksamkeit einer Behandlung.
• Statistische%20Tests: In einigen statistischen Tests, insbesondere bei kleinen Stichproben.

Wichtige Überlegungen:

• Die Versuche müssen unabhängig voneinander sein.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) muss für jeden Versuch konstant sein.
• Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, d.h. k kann nur ganzzahlige Werte annehmen (0, 1, 2, ..., n).