Was ist volumenintegral?

Volumenintegral

Das Volumenintegral ist ein Integral über ein dreidimensionales Gebiet. Es ist eine Erweiterung des <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Doppelintegral">Doppelintegrals</a> für die Integration über eine zweidimensionale Fläche auf drei Dimensionen. Es wird verwendet, um Größen wie Masse, Volumen, oder das Trägheitsmoment eines dreidimensionalen Objekts zu berechnen.

Definition:

Das Volumenintegral einer Funktion f(x, y, z) über ein Volumen V wird wie folgt geschrieben:

∭V f(x, y, z) dV

Dabei ist:

• ∭V das Symbol für das dreifache Integral über das Volumen V.
• f(x, y, z) die zu integrierende Funktion.
• dV das infinitesimale Volumenelement.

Berechnung:

Die Berechnung des Volumenintegrals erfordert die Integration über alle drei Dimensionen. Das Volumenelement dV kann je nach verwendetem Koordinatensystem unterschiedlich ausgedrückt werden:

• Kartesische Koordinaten: dV = dx dy dz
• Zylinderkoordinaten: dV = r dr dθ dz
• Kugelkoordinaten: dV = ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Die Integrationsgrenzen hängen von der Form des Volumens V ab. Man muss die Grenzen so wählen, dass der gesamte Bereich V abgedeckt wird. Die Reihenfolge der Integration kann je nach Komplexität des Integrals gewählt werden.

Anwendungen:

• Berechnung von <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Masse">Masse</a>: Wenn f(x, y, z) die Dichte eines Objekts ist, dann ist das Volumenintegral von f über das Volumen des Objekts die Masse des Objekts.

• Berechnung von Volumen: Wenn f(x, y, z) = 1, dann ist das Volumenintegral von f über das Volumen V einfach das Volumen von V.

• Berechnung von <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Schwerpunkt">Schwerpunkten</a>: Volumenintegrale werden verwendet, um die Koordinaten des Schwerpunkts eines dreidimensionalen Objekts zu berechnen.

• Berechnung von <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Tr%C3%A4gheitsmoment">Trägheitsmomenten</a>: Volumenintegrale werden verwendet, um das Trägheitsmoment eines dreidimensionalen Objekts um eine bestimmte Achse zu berechnen.

Beispiel:

Betrachten wir die Berechnung des Volumens einer Kugel mit Radius R. Wir verwenden Kugelkoordinaten:

V = ∭V dV = ∫02π ∫0π ∫0R ρ² sin(φ) dρ dφ dθ

Die Integration ergibt:

V = (∫02π dθ) (∫0π sin(φ) dφ) (∫0R ρ² dρ) = (2π) (2) (R³/3) = (4/3)πR³

Dies ist das bekannte Volumen einer Kugel.