Das Volumenintegral ist ein Integral über ein dreidimensionales Gebiet. Es ist eine Erweiterung des <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Doppelintegral">Doppelintegrals</a> für die Integration über eine zweidimensionale Fläche auf drei Dimensionen. Es wird verwendet, um Größen wie Masse, Volumen, oder das Trägheitsmoment eines dreidimensionalen Objekts zu berechnen.
Definition:
Das Volumenintegral einer Funktion f(x, y, z)
über ein Volumen V
wird wie folgt geschrieben:
∭V f(x, y, z) dV
Dabei ist:
∭V
das Symbol für das dreifache Integral über das Volumen V
.f(x, y, z)
die zu integrierende Funktion.dV
das infinitesimale Volumenelement.Berechnung:
Die Berechnung des Volumenintegrals erfordert die Integration über alle drei Dimensionen. Das Volumenelement dV
kann je nach verwendetem Koordinatensystem unterschiedlich ausgedrückt werden:
dV = dx dy dz
dV = r dr dθ dz
dV = ρ² sin(φ) dρ dθ dφ
Die Integrationsgrenzen hängen von der Form des Volumens V
ab. Man muss die Grenzen so wählen, dass der gesamte Bereich V
abgedeckt wird. Die Reihenfolge der Integration kann je nach Komplexität des Integrals gewählt werden.
Anwendungen:
Berechnung von <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Masse">Masse</a>: Wenn f(x, y, z)
die Dichte eines Objekts ist, dann ist das Volumenintegral von f
über das Volumen des Objekts die Masse des Objekts.
Berechnung von Volumen: Wenn f(x, y, z) = 1
, dann ist das Volumenintegral von f
über das Volumen V
einfach das Volumen von V
.
Berechnung von <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Schwerpunkt">Schwerpunkten</a>: Volumenintegrale werden verwendet, um die Koordinaten des Schwerpunkts eines dreidimensionalen Objekts zu berechnen.
Berechnung von <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Tr%C3%A4gheitsmoment">Trägheitsmomenten</a>: Volumenintegrale werden verwendet, um das Trägheitsmoment eines dreidimensionalen Objekts um eine bestimmte Achse zu berechnen.
Beispiel:
Betrachten wir die Berechnung des Volumens einer Kugel mit Radius R
. Wir verwenden Kugelkoordinaten:
V = ∭V dV = ∫02π ∫0π ∫0R ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
Die Integration ergibt:
V = (∫02π dθ) (∫0π sin(φ) dφ) (∫0R ρ² dρ) = (2π) (2) (R³/3) = (4/3)πR³
Dies ist das bekannte Volumen einer Kugel.
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