Was ist verteilungsfunktion?
Verteilungsfunktion (kumulative Verteilungsfunktion)
Die Verteilungsfunktion, auch bekannt als kumulative Verteilungsfunktion (CDF), ist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einem gegebenen Wert ist.
Definition:
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X, oft mit F(x) bezeichnet, ist definiert als:
F(x) = P(X ≤ x)
Dies bedeutet, dass F(x) die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.
Eigenschaften:
- Wertebereich: Die Verteilungsfunktion nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. 0 ≤ F(x) ≤ 1.
- Monoton steigend: Die Verteilungsfunktion ist monoton steigend oder nicht-fallend, d.h. wenn a < b, dann ist F(a) ≤ F(b).
- Grenzwert bei -∞: lim (x→-∞) F(x) = 0
- Grenzwert bei +∞: lim (x→+∞) F(x) = 1
- Rechtsseitig stetig: Die Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig, d.h. lim (x→a+) F(x) = F(a).
Typen von Zufallsvariablen:
- Diskrete Zufallsvariable: Für diskrete Zufallsvariablen ist die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion. Die Sprünge der Funktion entsprechen den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Werte. Siehe auch: Diskrete%20Zufallsvariable
- Stetige Zufallsvariable: Für stetige Zufallsvariablen ist die Verteilungsfunktion stetig und differenzierbar. Die Ableitung der Verteilungsfunktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF). Siehe auch: Stetige%20Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Berechnung:
- Diskret: F(x) = ∑ P(X = x<sub>i</sub>) für alle x<sub>i</sub> ≤ x
- Stetig: F(x) = ∫<sub>-∞</sub><sup>x</sup> f(t) dt, wobei f(t) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist.
Anwendungen:
- Wahrscheinlichkeitsberechnungen: Die Verteilungsfunktion kann verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten für Intervalle zu berechnen.
- Statistische Tests: Sie spielt eine wichtige Rolle bei statistischen Tests, insbesondere bei der Berechnung von p-Werten.
- Modellierung: Sie wird zur Modellierung von Zufallsprozessen in verschiedenen Bereichen wie Finanzwesen, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften eingesetzt.
Beispiele:
- Normalverteilung: Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist eine S-förmige Kurve. Siehe auch: Normalverteilung
- Exponentialverteilung: Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis bis zu einem bestimmten Zeitpunkt eintritt. Siehe auch: Exponentialverteilung