Was ist summenzeichen?

Summenzeichen (Σ)

Das Summenzeichen, dargestellt durch den griechischen Großbuchstaben Sigma (Σ), ist eine mathematische Notation, die verwendet wird, um eine Summe von mehreren, oft einer variablen Anzahl von, Termen kompakt darzustellen. Es ist ein mächtiges Werkzeug in vielen Bereichen der Mathematik, einschließlich Analysis, Statistik und linearer Algebra.

Bestandteile des Summenzeichens:

• Summenzeichen: Das Symbol Σ selbst.
• Indexvariable: Eine Variable (oft i, j, k oder n), die über einen bestimmten Bereich von Werten iteriert. (Siehe auch Indexvariable)
• Untere Grenze: Der Startwert des Index. Dies wird unterhalb des Summenzeichens notiert (z.B. i=1).
• Obere Grenze: Der Endwert des Index. Dies wird oberhalb des Summenzeichens notiert (z.B. n).
• Summand: Ein Ausdruck, der von der Indexvariable abhängt. Dieser Ausdruck wird summiert. (Siehe auch Summand)

Allgemeine Form:

$$\sum_{i=m}^{n} a_i$$

Dies bedeutet: Summiere die Werte von $a_i$ für alle ganzzahligen Werte von i von m bis n.

Beispiel:

$$\sum_{i=1}^{5} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$

Eigenschaften und Rechenregeln:

• Konstantenfaktor: Eine Konstante, die mit dem Summanden multipliziert wird, kann vor die Summe gezogen werden: $$\sum_{i=m}^{n} c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i=m}^{n} a_i$$ (Siehe auch Konstantenfaktor)
• Summe von Summen (oder Differenzen): Die Summe einer Summe (oder Differenz) ist die Summe (oder Differenz) der Summen: $$\sum_{i=m}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=m}^{n} a_i + \sum_{i=m}^{n} b_i$$
• Leere Summe: Wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere Grenze, ist die Summe per Definition 0: $$\sum_{i=m}^{n} a_i = 0 \text{, wenn } n < m$$ (Siehe auch Leere%20Summe)
• Teleskopsummen: Spezielle Summen, bei denen sich viele Terme gegenseitig aufheben, so dass nur wenige Terme übrig bleiben. (Siehe auch Teleskopsummen)

Anwendungen:

Das Summenzeichen findet Anwendung in:

• Reihen: Die Notation für unendliche Reihen. (Siehe auch Reihen)
• Statistik: Berechnung von Mittelwerten, Varianzen und anderen statistischen Kennzahlen.
• Lineare Algebra: Matrixmultiplikation.
• Analysis: Definition von Integralen (Riemann-Summen).
• Informatik: Algorithmen und Datenstrukturen (z.B. bei der Berechnung der Komplexität von Algorithmen).

Doppelsummen:

Man kann auch Doppelsummen (oder sogar Mehrfachsummen) verwenden, um über mehrere Indizes zu summieren:

$$\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}$$

Dies summiert die Werte von $a_{i,j}$ für alle Kombinationen von i von 1 bis m und j von 1 bis n. Die Reihenfolge der Summation ist oft (aber nicht immer) irrelevant. (Siehe auch Doppelsummen)