Was ist stetigkeit?

Stetigkeit

Die Stetigkeit ist ein grundlegendes Konzept in der Analysis. Intuitiv bedeutet die Stetigkeit einer Funktion, dass der Graph der Funktion "keine Sprünge oder Löcher" aufweist. Formalisiert wird dies über verschiedene Definitionen:

Definition über Grenzwerte:

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn gilt:

1. f(a) ist definiert.
2. Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert (lim x→a f(x)).
3. Der Grenzwert und der Funktionswert an der Stelle a stimmen überein: lim x→a f(x) = f(a).

Epsilon-Delta-Definition:

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x mit |x - a| < δ gilt: |f(x) - f(a)| < ε. Diese Definition präzisiert den Begriff der "Nähe" und ist besonders wichtig für formale Beweise.

Stetigkeit auf einem Intervall:

Eine Funktion ist auf einem Intervall stetig, wenn sie an jedem Punkt dieses Intervalls stetig ist. Für abgeschlossene Intervalle müssen die einseitigen Grenzwerte an den Endpunkten existieren und mit den Funktionswerten übereinstimmen.

Wichtige Folgerungen:

• Verkettung stetiger Funktionen: Sind f und g stetige Funktionen, so ist auch die Verkettung f(g(x)) stetig (sofern sie definiert ist).
• Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen: Sind f und g an der Stelle a stetig, so sind auch f + g, f - g und f * g an der Stelle a stetig. Der Quotient f/g ist ebenfalls stetig an der Stelle a, sofern g(a) ≠ 0.
• Zwischenwertsatz: Ist f eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b], dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an.
• Extremwertsatz: Ist f eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b], dann nimmt f auf diesem Intervall ein Maximum und ein Minimum an.

Unstetigkeitsstellen:

Punkte, an denen eine Funktion nicht stetig ist, werden als Unstetigkeitsstellen bezeichnet. Man unterscheidet verschiedene Arten von Unstetigkeiten, wie z.B.:

• Hebbare Unstetigkeit: Der Grenzwert existiert, stimmt aber nicht mit dem Funktionswert überein (oder die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert).
• Sprungstelle: Die einseitigen Grenzwerte existieren, sind aber unterschiedlich.
• Polstelle: Der Grenzwert ist unendlich.
• Wesentliche Unstetigkeit: Der Grenzwert existiert nicht.