Was ist krümmer?

Krümmer

Der Begriff "Krümmer" (im Englischen oft "manifold") bezieht sich im Allgemeinen auf eine geometrische Struktur, die lokal wie der euklidische Raum aussieht. Genauer gesagt ist ein Krümmer ein topologischer Raum, der durch Karten (auch Charts genannt) lokal durch den euklidischen Raum beschrieben werden kann.

Wichtige Aspekte:

• Topologischer%20Raum: Ein Krümmer ist zunächst ein topologischer Raum, was bedeutet, dass die Begriffe "offene Menge", "Umgebung", "Konvergenz" usw. definiert sind.

• Karten%20(Charts): Ein Krümmer ist mit einem Atlas von Karten versehen. Eine Karte ist eine homöomorphe Abbildung von einer offenen Menge des Krümmers in eine offene Menge des euklidischen Raums (R^n).

• Atlas: Ein Atlas ist eine Sammlung von Karten, die den gesamten Krümmer abdecken. Die Karten müssen "kompatibel" sein, in dem Sinne, dass Übergangsabbildungen (Abbildungen zwischen verschiedenen Karten in Bereichen, in denen sie sich überlappen) in einem gewissen Sinne "glatt" sind (Differenzierbarkeit). Dies ermöglicht es, Konzepte wie Differenzierbarkeit und Integration auf dem Krümmer zu definieren.

• Differenzierbare%20Krümmer: Wenn die Übergangsabbildungen differenzierbar sind, spricht man von einem differenzierbaren Krümmer. Diese sind besonders wichtig in der Differentialgeometrie und Physik (z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie).

• Dimension: Die Dimension eines Krümmers ist die Dimension des euklidischen Raums, in den die Karten abbilden. Zum Beispiel ist eine Kugel eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit (obwohl sie im 3-dimensionalen Raum eingebettet ist).

• Beispiele:

  • Die reelle Linie (R) ist ein 1-dimensionaler Krümmer.
  • Die Ebene (R^2) ist ein 2-dimensionaler Krümmer.
  • Die Sphäre (Kugeloberfläche) ist ein 2-dimensionaler Krümmer.
  • Der Torus ist ein 2-dimensionaler Krümmer.

Krümmer sind ein zentrales Konzept in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Sie erlauben es, Konzepte aus der Analysis und Geometrie auf kompliziertere Räume zu übertragen.

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