Was ist exponentialfunktion?

Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ist eine wichtige Funktion in der Mathematik und findet breite Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Physik, Chemie, Biologie, Wirtschaft und Informatik. Sie beschreibt ein exponentielles Wachstum oder einen exponentiellen Zerfall.

Definition:

Eine Exponentialfunktion hat die allgemeine Form:

f(x) = a * b^x

wobei:

• a eine Konstante ist, die den Anfangswert (oder den y-Achsenabschnitt) darstellt.
• b die Basis der Exponentialfunktion ist (b > 0 und b ≠ 1). Die Basis beeinflusst die Wachstums- oder Zerfallsrate. Wichtiger Hinweis ist die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Basis%20der%20Exponentialfunktion">Basis der Exponentialfunktion</a>
• x die unabhängige Variable ist.

Besondere Fälle:

• Natürliche Exponentialfunktion: Wenn b = e (Eulersche Zahl ≈ 2.71828), spricht man von der natürlichen Exponentialfunktion: f(x) = e^x. Die <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Eulersche%20Zahl">Eulersche Zahl</a> ist extrem wichtig.
• Exponentielles Wachstum: Wenn b > 1, wächst die Funktion exponentiell. Hier findet <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Exponentielles%20Wachstum">Exponentielles Wachstum</a> statt.
• Exponentieller Zerfall: Wenn 0 < b < 1, fällt die Funktion exponentiell. Dies stellt <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Exponentieller%20Zerfall">Exponentieller Zerfall</a> dar.

Eigenschaften:

• Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen (ℝ).
• Der Wertebereich ist die Menge der positiven reellen Zahlen (ℝ⁺), außer wenn die Funktion zusätzlich verschoben wird.
• Die Funktion hat keine Nullstellen (d.h., sie schneidet die x-Achse nicht).
• Die Funktion ist entweder streng monoton steigend (für b > 1) oder streng monoton fallend (für 0 < b < 1).
• Die Ableitung der Exponentialfunktion e^x ist wieder e^x.

Anwendungen:

• Bevölkerungswachstum: Beschreibung des Wachstums von Populationen.
• Radioaktiver Zerfall: Beschreibung des Zerfalls radioaktiver Substanzen.
• Zinseszinsrechnung: Berechnung von Zinsen, die auf bereits erwirtschaftete Zinsen gezahlt werden.
• Abkühlungsprozesse: Modellierung der Abkühlung von Objekten.
• Maschinelles Lernen: In Aktivierungsfunktionen neuronaler Netze (z.B. Sigmoid-Funktion, ReLU).

Graph:

Der Graph einer Exponentialfunktion ist eine Kurve, die entweder exponentiell ansteigt oder abfällt, abhängig vom Wert der Basis b. Der Graph schneidet die y-Achse bei a.