Was ist erzeugendensystem?

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, aus der sich ein Vektorraum durch Linearkombinationen der Vektoren bilden lässt. Es bildet somit eine Basis des Vektorraums.

Ein Erzeugendensystem muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

1. Die Vektoren sind linear unabhängig, d.h. keiner der Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.
2. Jeder Vektor des Vektorraums lässt sich als Linearkombination der Vektoren des Erzeugendensystems darstellen.

Ein Erzeugendensystem ist nicht eindeutig, d.h. es gibt meistens mehrere Möglichkeiten, ein Erzeugendensystem für einen Vektorraum zu finden.

Die Größe des Erzeugendensystems ist gleich der Dimension des Vektorraums. Ein Vektorraum mit endlicher Dimension hat ein endliches Erzeugendensystem.

Beispiel: In einem zweidimensionalen Vektorraum kann das Erzeugendensystem {(1, 0), (0, 1)} gewählt werden. Jeder Vektor in diesem Vektorraum kann als Linearkombination dieser beiden Vektoren dargestellt werden.

Ein weiteres Beispiel ist der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n. Ein Erzeugendensystem für diesen Vektorraum besteht aus den n+1 Standardmonomen 1, x, x^2, ..., x^n. Jeder Polynom in diesem Vektorraum kann als Linearkombination dieser Standardmonome dargestellt werden.