Was ist dispersionsrelation?
Dispersionsrelation
Die Dispersionsrelation beschreibt die Beziehung zwischen der Frequenz (oder Energie) einer Welle und ihrem Wellenvektor (oder Impuls). Sie ist ein grundlegendes Konzept in der Physik und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Optik, Festkörperphysik, Akustik und Quantenmechanik.
Allgemeine Definition:
Die Dispersionsrelation wird typischerweise als Funktion ω(k) oder E(k) dargestellt, wobei:
- ω die Kreisfrequenz ist
- E die Energie ist
- k der Wellenvektor ist
Bedeutung:
Die Dispersionsrelation bestimmt, wie sich Wellen verschiedener Frequenzen (oder Energien) in einem Medium ausbreiten. Eine lineare Dispersionsrelation impliziert, dass sich alle Wellen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten, während eine nichtlineare Dispersionsrelation bedeutet, dass die Geschwindigkeit von der Frequenz abhängt (Dispersion).
Arten von Dispersion:
- Normale Dispersion: Höhere Frequenzen (kürzere Wellenlängen) breiten sich langsamer aus.
- Anomale Dispersion: Höhere Frequenzen (kürzere Wellenlängen) breiten sich schneller aus.
Anwendungen und Beispiele:
- Optik: Die Dispersionsrelation von Licht in einem Material bestimmt Phänomene wie Brechung und das Auftreten von Farbzerlegung in einem Prisma. Siehe Brechung.
- Festkörperphysik: Die Dispersionsrelation von Elektronen in einem Kristallgitter bestimmt die elektronischen Eigenschaften des Materials (z.B. elektrische Leitfähigkeit). Siehe Elektronische%20Bandstruktur. Die Phonon-Dispersion beschreibt die Schwingungsmoden des Gitters und ist wichtig für die Wärmeleitfähigkeit. Siehe Phononen.
- Akustik: Die Dispersionsrelation von Schallwellen in verschiedenen Medien beeinflusst, wie sich Schall ausbreitet und wie unterschiedliche Frequenzen gedämpft werden.
- Quantenmechanik: Die Energie-Impuls-Beziehung von Teilchen, wie z.B. Elektronen, ist eine Form der Dispersionsrelation. Siehe Energie-Impuls-Beziehung.
- Wasserwellen: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wasserwellen hängt von der Wellenlänge ab, was durch die Dispersionsrelation beschrieben wird. Flache Wasserwellen zeigen wenig Dispersion, tiefe Wasserwellen zeigen eine ausgeprägte Dispersion.
Mathematische Beschreibung (Beispiele):
- Freies Teilchen (nicht-relativistisch): E = ħ²k²/2m, wobei ħ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und m die Masse ist.
- Elektromagnetische Welle im Vakuum: ω = ck, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist.
Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit:
- Phasengeschwindigkeit (v<sub>p</sub>): Die Geschwindigkeit, mit der sich eine Welle mit einer bestimmten Frequenz ausbreitet: v<sub>p</sub> = ω/k
- Gruppengeschwindigkeit (v<sub>g</sub>): Die Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende einer Welle ausbreitet: v<sub>g</sub> = dω/dk
In dispersiven Medien sind Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit unterschiedlich. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der Information übertragen werden kann.