Was ist determinante?

Determinante

Die Determinante ist eine wichtige Kennzahl, die quadratischen Matrizen zugeordnet wird. Sie liefert Informationen über die Eigenschaften der Matrix und die lineare Abbildung, die sie repräsentiert.

Definition:

Die Determinante einer quadratischen Matrix A (n x n) ist eine Skalarwert, der mit det(A) oder |A| bezeichnet wird. Die Berechnung der Determinante hängt von der Größe der Matrix ab.

• 2x2 Matrix: Für eine Matrix A = [\begin{smallmatrix} a & b \ c & d \end{smallmatrix}] ist det(A) = ad - bc.

• Größere Matrizen: Die Determinante größerer Matrizen kann mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes oder durch Umformung der Matrix in eine Dreiecksmatrix berechnet werden.

Eigenschaften und Regeln:

• Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1.
• Wenn eine Zeile (oder Spalte) einer Matrix mit einem Skalar k multipliziert wird, multipliziert sich die Determinante mit k.
• Wenn zwei Zeilen (oder Spalten) einer Matrix vertauscht werden, ändert die Determinante ihr Vorzeichen.
• Wenn eine Matrix zwei identische Zeilen (oder Spalten) hat, ist ihre Determinante 0.
• det(AB) = det(A) * det(B) (Determinantenmultiplikationssatz).
• det(A^T) = det(A) (Die Determinante der Transponierten ist gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix).

Bedeutung und Anwendungen:

• Invertierbarkeit: Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar (hat eine Inverse), wenn det(A) ≠ 0. Eine Matrix mit einer Determinante von 0 wird als singuläre Matrix bezeichnet.

• Lineare Unabhängigkeit: Die Zeilen (oder Spalten) einer Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist.

• Volumenberechnung: Die Determinante einer Matrix, die durch Vektoren im n-dimensionalen Raum aufgespannt wird, entspricht (bis auf das Vorzeichen) dem Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.

• Lösung linearer Gleichungssysteme: Die Determinante wird im Cramerschen Regel zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet.

• Eigenwerte und Eigenvektoren: Die Determinante spielt eine Rolle bei der Berechnung der Eigenwerte einer Matrix.

Berechnungsmethoden:

• Laplacescher Entwicklungssatz: Erlaubt die Berechnung der Determinante rekursiv durch Entwicklung nach Zeilen oder Spalten.

• Gauß-Elimination: Die Matrix wird in eine obere Dreiecksmatrix umgeformt. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalelemente.