Was ist beziers?

Bézierkurven

Bézierkurven sind parametrische Kurven, die in der Computergrafik und im CAD (Computer-Aided Design) weit verbreitet sind. Sie zeichnen sich durch ihre einfache Berechnung und Flexibilität aus. Die Kurven werden durch eine Reihe von Kontrollpunkten definiert, die die Form der Kurve beeinflussen. Die Kurve interpoliert im Allgemeinen nicht durch alle Kontrollpunkte, sondern wird stattdessen von ihnen angezogen. Die ersten und letzten Kontrollpunkte liegen immer auf der Kurve.

Grundlagen:

• Kontrollpunkte: Definieren die Form der Kurve. Die Kurve verläuft immer durch den ersten und letzten Kontrollpunkt. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Kontrollpunkte)
• Grad der Kurve: Wird durch die Anzahl der Kontrollpunkte bestimmt. Eine Kurve mit zwei Kontrollpunkten ist eine lineare Bézierkurve, eine Kurve mit drei Kontrollpunkten ist quadratisch, eine Kurve mit vier Kontrollpunkten ist kubisch usw.
• Parameter t: Variiert zwischen 0 und 1 und definiert die Position entlang der Kurve.

Eigenschaften:

• Affininvarianz: Bézierkurven sind affininvariant, d.h., dass affine Transformationen (Translation, Rotation, Skalierung, Scherung) auf die Kontrollpunkte angewendet, die gleiche Transformation auf die Kurve anwenden.
• Konvexe Hülle: Die Bézierkurve liegt immer innerhalb der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Konvexe%20Hülle)
• Einfache Ableitung: Die Ableitung einer Bézierkurve ist wieder eine Bézierkurve, was die Berechnung von Tangenten und Krümmung erleichtert.

Typen von Bézierkurven:

• Lineare Bézierkurve: Definiert durch zwei Kontrollpunkte. Ist einfach eine gerade Linie zwischen den beiden Punkten.
• Quadratische Bézierkurve: Definiert durch drei Kontrollpunkte. Bildet einen gekrümmten Pfad.
• Kubische Bézierkurve: Definiert durch vier Kontrollpunkte. Bietet mehr Flexibilität bei der Formgebung und ist die am häufigsten verwendete Form in der Computergrafik.

Anwendungen:

• Vektorgrafiken: Zum Erstellen von Kurven und Formen in Programmen wie Adobe Illustrator und Inkscape.
• Schriftarten: Zum Definieren der Formen von Buchstaben.
• Animation: Zur Erzeugung flüssiger Bewegungen.
• 3D-Modellierung: Zum Erstellen von Oberflächen.
• Pfadplanung: Zum Erstellen von Pfaden für Roboter oder Videospielcharaktere.

Berechnung:

Bézierkurven können mit der de Casteljau-Algorithmus berechnet werden, ein rekursiver Algorithmus, der die Punkte auf der Kurve iterativ berechnet. (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/de%20Casteljau-Algorithmus)