Was ist newton verfahren?

Newton-Verfahren (Newton-Raphson-Verfahren)

Das Newton-Verfahren, auch bekannt als Newton-Raphson-Verfahren, ist ein iteratives Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer reellwertigen Funktion. Es ist ein sehr effizientes und weit verbreitetes Verfahren.

Kernidee:

Das Verfahren basiert auf der Idee, die Funktion in der Nähe einer vermuteten Nullstelle durch ihre Tangente zu approximieren und die Nullstelle dieser Tangente als verbesserte Näherung für die Nullstelle der Funktion zu verwenden.

Formel:

Die Iterationsformel des Newton-Verfahrens lautet:

x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

wobei:

• x_n die aktuelle Näherung der Nullstelle ist
• x_(n+1) die nächste Näherung der Nullstelle ist
• f(x_n) der Funktionswert an der Stelle x_n ist
• f'(x_n) der Wert der Ableitung der Funktion an der Stelle x_n ist

Voraussetzungen:

• Die Funktion f(x) muss differenzierbar sein.
• Die Ableitung f'(x) darf in der Nähe der Nullstelle nicht Null sein.
• Ein guter Startwert x_0 ist wichtig für die Konvergenz des Verfahrens.

Ablauf des Verfahrens:

1. Wähle einen geeigneten Startwert x_0.
2. Berechne x_(n+1) mit der oben genannten Formel.
3. Überprüfe, ob die Differenz zwischen x_(n+1) und x_n klein genug ist (oder ob ein anderes Abbruchkriterium erfüllt ist).
4. Wenn die Differenz klein genug ist, ist x_(n+1) eine akzeptable Näherung der Nullstelle.
5. Andernfalls setze x_n = x_(n+1) und wiederhole die Schritte 2-4.

Vorteile:

• Schnelle Konvergenz: Bei guten Startwerten konvergiert das Verfahren quadratisch, d.h. die Anzahl der korrekten Stellen verdoppelt sich etwa mit jedem Schritt.
• Einfache Anwendung: Die Iterationsformel ist einfach zu implementieren.

Nachteile:

• Konvergenz nicht garantiert: Das Verfahren konvergiert nicht immer, insbesondere bei schlechten Startwerten oder wenn die Ableitung in der Nähe der Nullstelle Null ist.
• Benötigt Ableitung: Die Ableitung der Funktion muss bekannt und berechenbar sein.

Anwendungen:

Das Newton-Verfahren findet in vielen Bereichen Anwendung, darunter:

• Numerische Mathematik: Nullstellenbestimmung von Funktionen, Lösen von Gleichungssystemen.
• Optimierung: Finden von Minima und Maxima von Funktionen.
• Ingenieurwesen: Lösung von nichtlinearen Gleichungen in verschiedenen technischen Problemen.

Wichtige Themen:

• Konvergenz: Konvergenz%20(Mathematik)
• Ableitung: Ableitung
• Nullstelle: Nullstelle
• Iteration: Iteration