Was ist irrationale zahlen?

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Anders ausgedrückt: Sie können nicht als a/b geschrieben werden, wobei a und b ganze Zahlen sind und b nicht Null ist. Die Dezimaldarstellung irrationaler Zahlen ist weder endlich noch periodisch.

Wichtige Eigenschaften und Beispiele:

• Definition: Eine Zahl, die nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist. (Siehe: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Bruchzahl)
• Dezimaldarstellung: Nicht-endend und nicht-periodisch.
• Beispiele:
  • √2 (Quadratwurzel aus 2): Eine der bekanntesten irrationalen Zahlen. Der Beweis für ihre Irrationalität ist klassisch. (Siehe: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Quadratwurzel)
  • π (Pi): Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Eine transzendente Zahl. (Siehe: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Pi%20(Zahl))
  • e (Eulersche Zahl): Die Basis des natürlichen Logarithmus. Ebenfalls eine transzendente Zahl. (Siehe: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Eulersche%20Zahl)
  • Wurzeln von Zahlen, die keine perfekten Quadrate oder Kuben sind: Z.B. √3, ∛5.

Arten irrationaler Zahlen:

• Algebraische irrationale Zahlen: Sind Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. (z.B. √2 ist Lösung von x² - 2 = 0)
• Transzendente Zahlen: Sind nicht Lösungen solcher Polynomgleichungen. (z.B. π und e) Alle transzendenten Zahlen sind irrational, aber nicht alle irrationalen Zahlen sind transzendent.

Beziehung zu anderen Zahlenmengen:

• Irrationale Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen. (Siehe: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Reelle%20Zahl)
• Sie sind das Gegenteil von rationalen Zahlen. (Siehe: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Rationale%20Zahl)
• Rationale und irrationale Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen.

Bedeutung:

Irrationale Zahlen sind in vielen Bereichen der Mathematik und Physik von Bedeutung. Sie treten in Geometrie, Analysis, Trigonometrie und anderen Gebieten auf.