Was ist mittelwertsatz?

Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz ist ein wichtiger Satz der Differentialrechnung. Er besagt, dass es unter bestimmten Voraussetzungen mindestens einen Punkt auf dem Graphen einer Funktion gibt, an dem die Tangente parallel zur Sekante durch zwei Punkte auf dem Graphen ist.

Formulierung:

Sei f eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist. Dann existiert mindestens eine Zahl c in (a, b), so dass:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Bedeutung:

• Geometrisch bedeutet dies, dass es mindestens einen Punkt c auf dem Graphen von f zwischen a und b gibt, an dem die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (c, f(c)) gleich der Steigung der Sekante ist, die durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) verläuft.
• Physikalisch interpretiert kann dies bedeuten, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt c in einem Zeitintervall [a, b] eine momentane Geschwindigkeit gibt, die gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit über das gesamte Zeitintervall ist.

Voraussetzungen:

Die Gültigkeit des Mittelwertsatzes hängt von den folgenden Voraussetzungen ab:

• Stetigkeit: Die Funktion f muss auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig sein. Mehr Informationen zu Stetigkeit: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/stetigkeit%20einer%20funktion
• Differenzierbarkeit: Die Funktion f muss auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar sein. Mehr Informationen zur Differenzierbarkeit: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/differenzierbarkeit

Spezialfall: Satz von Rolle

Ein Spezialfall des Mittelwertsatzes ist der Satz von Rolle. Wenn zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen gilt, dass f(a) = f(b), dann existiert ein c in (a, b) mit f'(c) = 0. Mehr Informationen zum Satz von Rolle: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/satz%20von%20rolle

Anwendungen:

Der Mittelwertsatz hat viele Anwendungen in der Mathematik, beispielsweise:

• Zum Beweis anderer Sätze, wie z.B. des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
• Zur Abschätzung von Funktionswerten.
• Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens von Funktionen. Mehr Informationen zur Monotonie: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/monotonie%20einer%20funktion