Was ist martingale?
Ein Martingal ist ein stochastischer Prozess, bei dem der bedingte Erwartungswert des nächsten Wertes in der Sequenz, gegeben alle vorherigen Werte, gleich dem aktuellen Wert ist. Anders ausgedrückt: Es ist ein faires Spiel, bei dem man weder einen Gewinn noch einen Verlust erwartet.
Kernkonzepte:
- Stochastischer Prozess: Eine Folge von Zufallsvariablen, die sich im Laufe der Zeit entwickeln. Siehe: Stochastischer%20Prozess
- Bedingter Erwartungswert: Der erwartete Wert einer Zufallsvariable, gegeben das Wissen über den Wert einer anderen Zufallsvariable. Siehe: Bedingter%20Erwartungswert
- Fairness: Ein Martingal repräsentiert ein faires Spiel, bei dem es keine systematische Tendenz zu gewinnen oder zu verlieren gibt. Siehe: Fairness
Mathematische Definition:
Ein stochastischer Prozess {X<sub>n</sub>}<sub>n≥0</sub> ist ein Martingal bezüglich einer Filtration {F<sub>n</sub>}<sub>n≥0</sub>, falls:
- X<sub>n</sub> ist F<sub>n</sub>-messbar für alle n. (d.h., der Wert von X<sub>n</sub> ist zu Zeitpunkt n bekannt)
- E[|X<sub>n</sub>|] < ∞ für alle n. (d.h., der Erwartungswert von X<sub>n</sub> ist endlich)
- E[X<sub>n+1</sub> | F<sub>n</sub>] = X<sub>n</sub> für alle n. (d.h., der bedingte Erwartungswert des nächsten Wertes, gegeben die Vergangenheit, ist der aktuelle Wert)
Beispiele:
- Einfaches Glücksspiel: Betrachten Sie eine Reihe von Münzwürfen, bei denen Sie jedes Mal, wenn Kopf geworfen wird, 1 € gewinnen und jedes Mal, wenn Zahl geworfen wird, 1 € verlieren. Ihr Kapital nach jedem Wurf bildet ein Martingal.
- Brownsche Bewegung: Unter bestimmten Bedingungen ist die Brownsche Bewegung ein Martingal. Siehe: Brownsche%20Bewegung
Anwendungen:
Martingale finden in verschiedenen Bereichen Anwendung, darunter:
- Finanzmathematik: Modellierung von Aktienkursen und anderen Finanzinstrumenten. Siehe: Finanzmathematik
- Wahrscheinlichkeitstheorie: Grundlegendes Konzept zur Untersuchung stochastischer Prozesse. Siehe: Wahrscheinlichkeitstheorie
- Statistik: Inferenz und Modellierung. Siehe: Statistik
- Spieltheorie: Analyse von fairen Spielen und Strategien. Siehe: Spieltheorie
Wichtige Sätze:
- Optional Stopping Theorem: Beschreibt, wann man ein Martingal stoppen kann, ohne den Erwartungswert zu verändern. Siehe: Optional%20Stopping%20Theorem (Hinweis: Ein direktes Wiki-Äquivalent für dieses Theorem ist möglicherweise schwieriger zu finden, aber es ist ein zentraler Begriff).
Variationen:
- Submartingale: E[X<sub>n+1</sub> | F<sub>n</sub>] ≥ X<sub>n</sub> (erwarteter Gewinn)
- Supermartingale: E[X<sub>n+1</sub> | F<sub>n</sub>] ≤ X<sub>n</sub> (erwarteter Verlust)