Was ist elipse?

Ellipse

Eine Ellipse ist eine ebene, geschlossene Kurve, die als verallgemeinerte Form eines Kreises betrachtet werden kann. Sie entsteht, wenn ein Kegel schräg zur Achse geschnitten wird.

Definition: Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Brennpunkte%20der%20Ellipse">Brennpunkte der Ellipse</a>), konstant ist.

Eigenschaften und Elemente:

• Brennpunkte (F1, F2): Zwei feste Punkte innerhalb der Ellipse. Die Summe der Abstände jedes Punktes auf der Ellipse zu den Brennpunkten ist konstant.
• Mittelpunkt: Der Mittelpunkt der Strecke zwischen den Brennpunkten.
• Hauptachse: Die längste Achse der Ellipse, die durch die Brennpunkte und den Mittelpunkt verläuft. Ihre Länge wird mit 2a bezeichnet. Der Parameter 'a' wird als Halbmajorachse (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Halbmajorachse">Halbmajorachse</a>) bezeichnet.
• Nebenachse: Die kürzeste Achse der Ellipse, die senkrecht zur Hauptachse durch den Mittelpunkt verläuft. Ihre Länge wird mit 2b bezeichnet. Der Parameter 'b' wird als Halbminorachse (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Halbminorachse">Halbminorachse</a>) bezeichnet.
• Scheitelpunkte: Die Endpunkte der Hauptachse.
• Lineare Exzentrizität (e): Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem Brennpunkt.
• Numerische Exzentrizität (ε): Ein Wert zwischen 0 und 1, der die "Rundheit" der Ellipse angibt. Je näher ε an 0 ist, desto ähnlicher ist die Ellipse einem Kreis. Sie wird berechnet als ε = e/a.
• Direktrix: Eine Linie, die mit jedem Fokus assoziiert ist. Für jeden Punkt auf der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands zum Fokus zum Abstand zur Direktrix konstant und gleich der Exzentrizität.

Gleichungen:

• Mittelpunktsform (kartesisch):
  • Ellipse mit Hauptachse parallel zur x-Achse: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1
  • Ellipse mit Hauptachse parallel zur y-Achse: (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1 (wobei (h, k) die Koordinaten des Mittelpunkts sind)

Anwendungen:

Ellipsen finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter:

• Astronomie: Die Bahnen der Planeten um die Sonne sind Ellipsen (Keplersche Gesetze).
• Optik: Elliptische Spiegel können Licht von einem Brennpunkt zum anderen fokussieren.
• Architektur: Ellipsen werden in der Gestaltung von Bögen, Kuppeln und anderen architektonischen Elementen verwendet.
• Ingenieurwesen: Elliptische Formen werden in Zahnrädern und anderen mechanischen Systemen eingesetzt.