Was ist asymptote?

Asymptoten sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. Eine Asymptote ist eine Linie, der sich der Graph einer Funktion immer mehr annähert, ohne sie jemals ganz zu berühren oder zu schneiden (in einigen Sonderfällen ist ein Schneiden erlaubt, aber das Verhalten muss sich asymptotisch annähern). Asymptoten helfen, das Verhalten von Funktionen zu verstehen, insbesondere an den Rändern ihres Definitionsbereichs oder für sehr große oder sehr kleine Werte der unabhängigen Variable.

Es gibt hauptsächlich drei Arten von Asymptoten:

• Senkrechte Asymptoten: Diese treten auf, wenn der Funktionswert gegen Unendlich (oder minus Unendlich) strebt, wenn sich die unabhängige Variable einem bestimmten Wert nähert. Mathematisch ausgedrückt: Wenn lim x→a f(x) = ±∞, dann ist x = a eine senkrechte Asymptote. Siehe auch Senkrechte%20Asymptoten.

• Waagrechte Asymptoten: Diese beschreiben das Verhalten der Funktion, wenn die unabhängige Variable gegen Unendlich (oder minus Unendlich) strebt. Mathematisch ausgedrückt: Wenn lim x→±∞ f(x) = b, dann ist y = b eine waagrechte Asymptote. Siehe auch Waagrechte%20Asymptoten.

• Schräge Asymptoten: Diese treten auf, wenn der Graph der Funktion sich einer Geraden mit einer Steigung ungleich Null nähert, wenn die unabhängige Variable gegen Unendlich (oder minus Unendlich) strebt. Eine schräge Asymptote hat die Form y = mx + b, wobei m ≠ 0. Diese findet man oft bei rationalen Funktionen, bei denen der Grad des Zählers um eins höher ist als der Grad des Nenners. Siehe auch Schräge%20Asymptoten.

Die Bestimmung von Asymptoten ist ein wichtiger Schritt bei der Analyse und dem Skizzieren von Funktionsgraphen. Sie geben Aufschluss über das Verhalten der Funktion in den Randbereichen ihres Definitionsbereichs. Die Bestimmung erfolgt in der Regel durch Grenzwertberechnungen.