Ein Martingal ist ein stochastischer Prozess, bei dem der bedingte Erwartungswert des nächsten Wertes in der Sequenz, gegeben alle vorherigen Werte, gleich dem aktuellen Wert ist. Anders ausgedrückt: Es ist ein faires Spiel, bei dem man weder einen Gewinn noch einen Verlust erwartet.
Kernkonzepte:
- Stochastischer Prozess: Eine Folge von Zufallsvariablen, die sich im Laufe der Zeit entwickeln. Siehe: Stochastischer%20Prozess
- Bedingter Erwartungswert: Der erwartete Wert einer Zufallsvariable, gegeben das Wissen über den Wert einer anderen Zufallsvariable. Siehe: Bedingter%20Erwartungswert
- Fairness: Ein Martingal repräsentiert ein faires Spiel, bei dem es keine systematische Tendenz zu gewinnen oder zu verlieren gibt. Siehe: Fairness
Mathematische Definition:
Ein stochastischer Prozess {X<sub>n</sub>}<sub>n≥0</sub> ist ein Martingal bezüglich einer Filtration {F<sub>n</sub>}<sub>n≥0</sub>, falls:
- X<sub>n</sub> ist F<sub>n</sub>-messbar für alle n. (d.h., der Wert von X<sub>n</sub> ist zu Zeitpunkt n bekannt)
- E[|X<sub>n</sub>|] < ∞ für alle n. (d.h., der Erwartungswert von X<sub>n</sub> ist endlich)
- E[X<sub>n+1</sub> | F<sub>n</sub>] = X<sub>n</sub> für alle n. (d.h., der bedingte Erwartungswert des nächsten Wertes, gegeben die Vergangenheit, ist der aktuelle Wert)
Beispiele:
- Einfaches Glücksspiel: Betrachten Sie eine Reihe von Münzwürfen, bei denen Sie jedes Mal, wenn Kopf geworfen wird, 1 € gewinnen und jedes Mal, wenn Zahl geworfen wird, 1 € verlieren. Ihr Kapital nach jedem Wurf bildet ein Martingal.
- Brownsche Bewegung: Unter bestimmten Bedingungen ist die Brownsche Bewegung ein Martingal. Siehe: Brownsche%20Bewegung
Anwendungen:
Martingale finden in verschiedenen Bereichen Anwendung, darunter:
- Finanzmathematik: Modellierung von Aktienkursen und anderen Finanzinstrumenten. Siehe: Finanzmathematik
- Wahrscheinlichkeitstheorie: Grundlegendes Konzept zur Untersuchung stochastischer Prozesse. Siehe: Wahrscheinlichkeitstheorie
- Statistik: Inferenz und Modellierung. Siehe: Statistik
- Spieltheorie: Analyse von fairen Spielen und Strategien. Siehe: Spieltheorie
Wichtige Sätze:
- Optional Stopping Theorem: Beschreibt, wann man ein Martingal stoppen kann, ohne den Erwartungswert zu verändern. Siehe: Optional%20Stopping%20Theorem (Hinweis: Ein direktes Wiki-Äquivalent für dieses Theorem ist möglicherweise schwieriger zu finden, aber es ist ein zentraler Begriff).
Variationen:
- Submartingale: E[X<sub>n+1</sub> | F<sub>n</sub>] ≥ X<sub>n</sub> (erwarteter Gewinn)
- Supermartingale: E[X<sub>n+1</sub> | F<sub>n</sub>] ≤ X<sub>n</sub> (erwarteter Verlust)