Was ist jacobi matrix?

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix, benannt nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi, ist ein wichtiges Werkzeug in der mehrdimensionalen Analysis. Sie ist die Matrix aller ersten partiellen Ableitungen einer vektorwertigen Funktion.

Definition:

Sei f: ℝⁿ → ℝᵐ eine differenzierbare Funktion mit

f(x) = (f₁(x₁, ..., xₙ), f₂(x₁, ..., xₙ), ..., fₘ(x₁, ..., xₙ))ᵀ

Die Jacobi-Matrix von f an der Stelle x ist definiert als:

J_f(x) =  [ ∂f₁/∂x₁   ∂f₁/∂x₂   ...   ∂f₁/∂xₙ ]
           [ ∂f₂/∂x₁   ∂f₂/∂x₂   ...   ∂f₂/∂xₙ ]
           [   ...        ...      ...      ...   ]
           [ ∂fₘ/∂x₁   ∂fₘ/∂x₂   ...   ∂fₘ/∂xₙ ]

Die Jacobi-Matrix ist also eine m x n-Matrix, wobei das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte die partielle Ableitung der i-ten Komponente von f nach der j-ten Variablen ist.

Bedeutung und Anwendungen:

• Lineare Approximation: Die Jacobi-Matrix ist die beste lineare Approximation einer differenzierbaren Funktion in der Nähe eines gegebenen Punktes. Sie repräsentiert die Ableitung der Funktion in diesem Punkt.

• Koordinatentransformationen: In der Physik und Ingenieurwissenschaften wird die Jacobi-Matrix verwendet, um Koordinatentransformationen (z.B. von kartesischen zu Polarkoordinaten) durchzuführen. Der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix, der Jacobian oder die Funktionaldeterminante, gibt an, wie sich Volumenelemente unter der Transformation verändern.

• Implizite Funktionen: Der Satz%20über%20implizite%20Funktionen verwendet die Jacobi-Matrix, um zu bestimmen, ob eine durch eine implizite Gleichung definierte Funktion lokal als explizite Funktion geschrieben werden kann.

• Newton-Verfahren: In der numerischen Mathematik wird die Jacobi-Matrix im Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme verwendet.

• Inverse Funktionen: Der Satz%20über%20die%20Umkehrfunktion verwendet die Jacobi-Matrix, um die Existenz und Differenzierbarkeit einer Umkehrfunktion zu garantieren.